与傲雪的一番聊天让陆兮整个下午都神思不属，好不容易捱到放学，鱼幼薇和江采薇邀她一起去校门口的小吃摊吃东西。
陆兮哪里有胃口，正好黄先发拿了一道题过来。
“陆兮，能帮忙看看这道题吗，我们组好几个人都卡住了？”
虽然暂时不想做题，但奥数敢死队的请求还是需要给予协助的，大家都是组中人，向来互相帮助。
所以神情蔫蔫的陆兮振作精神接过草稿纸扫了一眼。
“对于正整数??，如果满足??^2+??+1恒为质数，求满足这一条件的最小??值。”
这个程度的题目？
陆兮眉头微蹙，不由得抬头看了黄先发和他那些围观的小伙伴们一眼。
他们虽然围过来了，却或是左顾右盼，或是冥思苦想，或是魂游天外，或是抓耳挠腮……
反正一个个都奇奇怪怪的。
陆兮也只能当他们真的不知道怎么做这道题了，正好婉拒了吃货们的邀请。
“笔来！”
旁边同时递过来6支造型各异花里胡哨的签字笔。
陆兮秉着就近原则，顺手拿了一支最近的，在草稿纸上写下二次多项式5个字。
这种程度的题目，哪里需要什么深思熟虑。
“表达式??^2+??+1是一个关于??的二次多项式。通过计算可以发现，对于任意正整数??，此表达式总是生成奇数。因为??^2+??是偶数，加1后为奇数。”
“质数的定义要求它是大于1的整数，并且没有其他因子，除了1和自身。因此，我们需要验证??^2+??+1。”
在这里我们可以用枚举尝试。
我们逐一代入??的值，检查??^2+??+ 1是否为质数：
当??=1时：??^2+??+1=1^2+1+1=3，3是质数
当??=2时：??^2+??+1=2^2+2+1=7，7是质数
当??=3时，??^2+??+1=3^2+3+1=13，13是质数
当??=4时，??^2+??+1=4^2+4+1=21，21不是质数
由此可见，满足条件的最小??是??=1
在这里，我们还可以推广验证，进一步分析是否存在无限多个??使得??^2+??+1恒为质数。对于大多数??，由于??是递增的多项式，因数的增长使其很快会变成非质数，因此满足此条件的??是有限的。
所以，这道题的关键在于观察??^2+??+1的性质和逐步代入验证。
“我这样说，大家应该可以理解。”
黄先发和他的小伙伴们忙不迭点头。
“理解，理解。”
不过就在他们准备作鸟兽散的时候，忽然听到已经要走的陆兮忽然来了一句。
“对于这道基础代入解题，你们还有什么想法吗？”
不是已经得出最小??值=1了吗？
还能有什么想法？
那个想法，他正经吗？
黄先发和他的小伙伴们面面相觑。
然后就看到陆兮又走了回来，拿过已经交还他们手上的笔和草稿纸。
“我刚刚想到，或许我们可以就这道题做一些延伸讨论。”
这道题有什么值得延伸讨论的地方吗？
黄先发和他的小伙伴们同时地铁老人问号脸。
陆兮过去是喜欢做题的，她的做题甚至已经进一步到了刷题的程度。
但在与傲雪的一番聊天之后，她总觉得学数学是要刷题的，但不应该止步于刷题。
人也不是刷题机器。
那么，不想沦为刷题机器，应该怎么做呢？
这是她这个下午在课堂上魂不守舍，思考了一个下午的问题。
带着这个疑问，在解答这道简单的基础代入解题时，她的脑子转得特别快，只是一会儿就想了很多很多。
所以此时此刻，她的脑海中生出了很多很多想法，有种一吐而后快的强烈倾诉欲。
看到黄先发和他的小伙伴胡文亮他们竖起耳朵，一副已经做好洗耳恭听的模样，陆兮不假思索说道：“表达式??^2+??+ 1是一个关于??的二次递推式，而质数生成的多项式一直是数论中的重要问题。”
“举个例子？”胡文亮觉得自己还是上道一些比较好。
陆兮于是顺口说道：“比如比较有名的欧拉的质数生成多项式：??^2+??+41，在??=0到39的范围内会生成质数。”
“事实上，对于??^2+??+1，它本质上是一个循环递推的形式，其特殊性质在于它与三次单位根的关系，比如，??^3?1=0的分解因式之一??^2+??+1的离散形式。”
“也就是说，它与三次单位根在复数域中的几何意义有关。”
“然后呢，有什么意义？”胡文亮皱着眉头问。
陆兮略一沉吟：“这种形式在有限域比如模??的整数环中有独特的行为，或许可以用来研究质数分布模式。”
“所以这就是你说的深层次的延伸，好像还挺有趣的。”胡文亮眼前一亮，感觉自己似乎进入了一个新的境界，“可以细说一下怎么用来研究质数的分布模式吗？”
“在有限域比如模??的整数环中，研究表达式??^2+??+1的行为时，我们可以发现它特定的周期性和结构，这对于研究质数的分布模式有一定的启发作用，比如……”
草稿纸上，陆兮下笔如有神助。
研究??^2+??+1在模??下的行为，我们就可以考察表达式??^2+??+1在模??（??是质数）下是否能生成所有剩余类，或者是否会恒为非零。
1.在模3的情况：
??^2+??+1=0，模3对于任意??恒成立。
证明：??^2+??+1=??(??+1)+1
对于模3，有??和??+1总有一个能被 3整除，因此??(??+1)恒为3的倍数，加1后结果就是 0。
结论：在模3意义下，表达式恒为0。
2.在模5的情况：
我们列出??=0，1，2，3，4时??^2+??+ 1模5的值：
??=0???^2+??+1≡1模5
??=1???^2+??+1≡3模5
??=2???^2+??+1≡2模5
??=3???^2+??+1≡2模5
??=4???^2+??+1≡3模5
发现，表达式的值不覆盖所有剩余类，而是周期性地取{1，2，3}的子集。
结论：在模5意义下，表达式的值形成周期性序列。
3.一般??的情况：
我们关注??^2+??+1模??是否恒为非零或覆盖所有剩余类。
对于??=7，可以发现它的值可能为{1，2，3，4，5，6}，但永远不会是0。
这种情况与??^2+??+1是否可以被模??整除，即是否有解密切相关。
“由此，我们可以得到以下两个现象。第一：如果??^2+??+1≡0模??没有解，则其值在模??下形成一个循环序列，且永不为零；第二：如果有解，??^2+??+1在模??下表现为具有根的多项式，其值会表现出不同的分布规律。”
“完了？”听得一头雾水的黄先发问。
“嗯。”
脸上现出一丝解脱的黄先发发现陆兮在点了点头后，却丝毫没有停下来的迹象。
“所以，??^2+??+1在模??的整数环中表现出的周期性和根的分布反映了递推式的数学特性，其实还能为数论中的质数生成问题提供研究工具。比如，伪随机数生成器和质数筛选。”
听到伪随机数生成器和质数筛选的胡文亮的眼神又亮了一下，发现不对的黄先发慌忙想要捂住他的嘴巴，可是胡文亮的下一句话已经脱口而出。
“能说说伪随机数生成器和质数筛选吗？”
“当然。”
已经理顺了思路的陆兮现在是有求必应。
“??^2+??+1在模??的周期性行为，可以被用作生成伪随机序列。通过调整模数??和初始值??_0得到不同的循环长度和分布特性。”
“模??的周期性可以用于研究类似表达式生成质数的可能性。如果表达式在模??下的根的分布有某种规律，可能为构造质数生成算法提供启发。”
“说完了？”
“综上所述，有限域中的行为常常能揭示整数域中的深层规律，为质数的分布模式提供理论支撑。”
已经听到晕头转向的黄先发听陆兮的话里总算来了综述两个字，不由得长长吐了一口气。
我真傻，真的。
但知道陆兮擅长解题，不知道她还擅长总结题目背后的数学思想。
一道被他拿出来耍乐子用的八九年级的练习题，硬是让她总结出来了题目背后的递推关系和质数生成规律。
辅导老师都没有这么能说的。
胡思乱想着，本以为终于结束的陆兮式数学课堂的黄先发准备拿回去草稿纸，不料陆兮忽然又来了一句。
“其实这道题背后不仅仅只有递推构造和质数生成。”
黄先发抬头，看到陆兮容光焕发，神采飞扬，眼瞅着这一次是不听完，走不了了，干脆一咬牙，正襟危坐回去。
一副还有什么，一并倾泻过来的大义凛然英勇就义的表情。
“我想了一下，这道题其实还能延伸到多项式的质数性问题，模算术和周期性，代数数论中的几何意义，质数分布渐近分析等等。”
“就拿其中的多项式质数性问题来说吧，这道题完全可以作为经典例子来讨论一下巴赫猜想。”
……
这下好了，让她说，她说到巴赫猜想去了。
这可是巴赫猜想，猜想啊，她能说到什么时候？
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