=1856.=
《论毕达哥拉斯定理》
真理，它永存于永恒之中，
一旦愚钝的世界领悟到它的光芒：
这个以毕达哥拉斯命名的定理，
如今依然有效，正如它在他那个时代一样。
毕达哥拉斯向神明献上祭品，
是神明将这道光芒赐予了他；
一百头牛被宰杀、焚烧，
宣告着他的感激之情。
从那以后，每当牛群（蠢货们）察觉到
有新的真理将要显现，
就会发出非人的咆哮；
毕达哥拉斯让它们满心恐惧；
它们无力抗拒真理的光芒，
只能闭上眼睛，瑟瑟发抖。
——阿德尔贝特·冯·沙米索
《诗集，1835年（豪森布施版）》（柏林，1889年），第302页。
《论毕达哥拉斯定理》
真理者，永存于永恒之中，
一旦愚钝之世悟其光：
毕达哥拉斯所名之定理，
今日犹然，如其当年。
毕达哥拉斯曾献祭，
敬那赐其光者之神；
百牛宰而焚之，
宣其感恩之诚。
自那日起，牛群（愚者）若觉
新理将显，
便发非人之声咆哮；
毕达哥拉斯令其恐惧，
无力拒光，
唯闭其目而颤栗。
——阿德尔贝特·冯·沙米索
《诗集，1835年（豪森布施版）》（柏林，1889年），第302页。
=1857.= 对于“哪一个是几何学中最显着美丽的真理？”这个问题，弗兰克兰回答：“众星之中，一颗比另一颗明亮，但太阳无疑是最耀眼的。同理，大家都会认同，圆的一个性质（《几何原本》第三卷第31个命题）堪称翘楚，就连最擅长诠释美的但丁也特意提及它。”——w.b.弗兰克兰
《欧几里得的故事》（伦敦，1902年），第70页。
问“几何之理中，孰为至美？”弗兰克兰答曰：“众星有明暗之异，然太阳为最，此众所公认。圆之一性（《几何原本》第三卷第三十一题），亦如是也，但丁——至善言美者——曾特言之。”——w.b.弗兰克兰
《欧几里得传》（伦敦，1902年），第70页。
=1858.=
就像一个精通几何学的人，
总想测量出圆的周长；
他冥思苦想，却始终找不到
那个必需的起点；
我当时也是如此，一心想探究
这新奇的奇迹，想弄清楚
它是如何与圆相契合，又如何存在于圆中：
但我力所不及，无法参透。
——但丁《天堂篇》（凯里译本）第33章，第122-129行。
譬如习几何者，
欲量圆周，
深思久虑，终不得其始，
吾亦如是，欲探新异之奇，
究其如何合于圆、存于圆，
然力所不逮，莫能知之。
——但丁
《天堂篇》（凯里译）第三十三章，第一百二十二至一百二十九行。
=1859.= 如果几何学像伦理学那样，与我们的情感和眼前的利益相悖，那么即便有欧几里得和阿基米德的种种证明，我们也会对它提出质疑、加以违背，只不过程度稍轻而已——你们会把这些证明视为空想，认为其中充满了谬误；而像约瑟夫·斯卡利杰、霍布斯等人，他们曾撰文反对欧几里得和阿基米德，要是那样的话，他们的追随者就不会像现在这样寥寥无几了。——莱布尼茨
《人类理智新论》（兰利译本），第一卷，第二章，第12节。
若几何如伦理，逆吾之情与眼前之利，则纵有欧几里得、阿基米德之证，吾辈亦必质疑违背之，或谓其为梦、谓其多谬；而约瑟夫·斯卡利杰、霍布斯等撰文反欧几里得、阿基米德者，其追随者必不如今日之寡。——莱布尼茨
《人类理智新论》（兰利译）第一卷第二章第十二节。
=1860.= 我对那些教授几何学的人没什么可指责的。这门学科是唯一没有产生学派分歧的学科；它建立在分析、综合和微积分的基础上；它不涉及或然性的真理；而且，它在每个国家都遵循着同样的方法。——腓特烈大帝《着作集》（德克尔版），第七卷，第100页。
吾于授几何者无咎。此学乃唯一无学派之争者，立基于分析、综合与演算，不涉或然之理，且万国方法皆同。——腓特烈大帝
《着作集》（德克尔版）第七卷，第100页。
=1861.= 毫无疑问，把几何学的原理和定理都以一般形式表述出来，有着充分的理由……但是，一个没有经验的学习者，即便在运用一个定理去证明另一个定理时，往往也是从具体情况推到具体情况，而不是从一般命题出发。这一点很明显，比如当一个图形的结构与原定理证明中所用图形的结构大相径庭时，他就很难把定理应用到这个新情况中。这种困难，除非是智力超群的人，否则只有通过长期练习才能克服，而练习之所以有效，主要是因为它能让我们熟悉所有符合定理一般条件的图形结构。——J.S.穆勒《逻辑体系》，第二卷，第三章，第3节。
几何学之原理与定理，固当以通用之形表述，此理甚明……然初学之人，即便用一理证另一理，亦多从具体至具体，而非从通用之命题。观其难将定理施于图形大异于原证之例，便可知之。此难也，非天资卓绝者，唯久习可破，盖因习之能熟谙合于定理通例之诸形也。——J.S.穆勒
《逻辑体系》第二卷第三章第三节。
=1862.= 我之所以认为几何学存在某种缺陷，是因为它的基本原理仅仅来源于表象；或许有人会认为，这种缺陷必然会一直存在，使它在比较对象或观念时，永远无法达到超越我们的眼睛或想象力所能企及的精确程度。我承认，这种缺陷确实存在，使得几何学永远无法达到完全的确定性。但由于这些基本原理是基于最简单、最不易出错的表象，它们就给由此得出的结论赋予了一定程度的精确性，而这些结论本身单独来看是无法具备这种精确性的。——大卫·休谟《人性论》，第三部分，第1节。
吾谓几何有缺，因其基本原理唯源于表象；或谓此缺必伴之，使其比较对象或观念，不能超于目与想象所及之精。吾承认，此缺确使其不能臻于全然确定。然其基本原理基于至简、至真之表象，故其结论得一精确，非结论自身所能有者。——大卫·休谟《人性论》第三部分第一节。
=1863.= 我已经说过，几何学，或者说我们用来确定图形比例的技艺，虽然在普遍性和精确性上远远超过感官和想象力的粗略判断，但它永远无法达到完美的精确。它的首要原理仍然来自于对象的大致外观；而当我们去考察自然界中极其细微的事物时，这种外观就再也无法给我们提供任何保障了……
因此，只剩下代数和算术这两门科学，在其中我们可以进行一系列复杂的推理，同时还能保持完美的精确性和确定性。——大卫·休谟《人性论》，第三部分，第1节。
吾已言，几何者，定图形比例之术也，虽其普遍性与精确性远胜感官与想象之粗断，然终不能至完美之精。其首要原理仍出于物之大概，若察自然之至微，则此大概不足为凭……
故唯代数与算术，可推演至繁，仍能保完美之精确性与确定性。——大卫·休谟《人性论》第三部分第一节。
1864. 归根结底，所有几何推理都是循环的：如果我们从假设点开始，那么点只能通过关联它们的线或平面来定义；而如果我们从假设线或平面开始，它们也只能通过经过的点来定义。——伯特兰·罗素，《几何基础》（剑桥，1897年），第120页。
盖几何学之推论，究其实皆循环也。若始于设点，则点唯以联之线或面而可定；若始于设线或面，则线面亦唯以经之点而可定。——罗素《几何基础》（剑桥，1897年），页一百二十。
1865. 几何学所依据的直线和圆的描述属于力学范畴。几何学并不教我们如何绘制这些线，而是要求这些线已经被绘制出来……它要求学习者在进入几何学之前，先学会准确地描述这些线，然后展示如何通过这些操作来解决问题。绘制直线和圆是问题，但不是几何问题。这些问题的解决需要依靠力学；几何学则展示了它们被解决后的用途……因此，几何学建立在机械实践之上，它只不过是通用力学中精确提出并演示测量技艺的那一部分。但由于手工技艺主要涉及物体的移动，结果便是几何学通常与物体的大小相关，而力学与物体的运动相关。——牛顿，《自然哲学的数学原理》，序言。
几何学所本之直线、圆之述，属力学也。几何不教绘此线，唯求其已绘就……必使学者先习精绘之法，而后可入几何；继而示以用此术以解问题。绘直线、圆者，固为问题，然非几何之题也。其解待于力学；几何则示其既解之后之用……故几何本于机械之实践，实乃通用力学之一部，精言度量之术而证之者也。然手工之艺多在移物，故几何常涉物之大小，力学常涉物之运动。——牛顿《自然哲学之数学原理·序》
1866. 那么，我们必须承认……存在一门独立的几何学，就像存在一门独立的物理学一样，而且这两门学科都可以用数学方法来处理。这样一来，几何学就成了最简单的自然科学，它的公理具有物理定律的性质，需要通过经验来检验，并且只有在观测误差的范围内才被视为正确。——马克西姆·博歇，《美国数学会通报》，第2卷（1904年），第124页。
是故吾辈当承认……几何有独立之学，犹物理有独立之学也，二者皆可用数学之法研之。由此，几何成自然科学之最简者，其公理类物理之律，必以经验验之，唯在观测误差之限内为真。——博歇《美国数学会通报》，卷二（1904年），页一百二十四。
1867. 因此，我们必须承认……几何学是一门独立的科学，就像物理学是一门独立的科学一样，而且两者都可以用数学方法来研究。于是，几何学成了最简单的自然科学，其公理具有物理定律的性质，需要通过经验来检验，并且只有在观测误差的范围内才被认为是正确的。——亨利·庞加莱，《论几何基础》；《一元论者》，第9卷（1898-1899年），第41页。
几何非实验之学也；经验仅为吾辈反思心中先存之几何观念之由。然此由必不可无，若无，则吾辈不反思；若吾辈之经验异，则反思必异。空间非感性之形，乃吾辈用以推理事物之器，非以表象事物也。——庞加莱《论几何基础》；《一元论者》，卷九（1898-1899年），页四十一。
1868. 有人说几何学是一种工具。这个比喻是可以接受的，只要同时承认，这个工具就像寓言中的普罗透斯一样，应该不断地改变自己的形式。——阿拉果，《着作集》，第2卷（1854年），第694页。
或曰几何者，器也。此喻可受，唯当知此器如寓言中普罗透斯，当常易其形。——阿拉果《着作集》，卷二（1854年），页六百九十四。
1869. 因此，我们的几何处理必须摒弃一切多余的东西，因为多余的内容会成为获取知识的障碍；必须筛选出所有能涵盖主题并使其集中的内容，因为这对科学最为有益；还必须高度注重清晰与简洁，因为它们的对立面会干扰我们的理解；必须致力于推广其定理，因为将知识分割成零散的部分会使其难以理解。——普罗克洛斯，引自d.E.史密斯：《几何学教学》（波士顿，1911年），第71页。
故治几何，必去冗赘，盖冗赘为求知之障；必择能赅其旨而聚其要者，盖此于学至有益也；必重明晰与简捷，盖其反者乱吾之解；必求推广其定理，盖知识析为碎块则难晓也。——普罗克洛斯，引自d.E.史密斯《几何学教学》（波士顿，1911年），页七十一。
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