关于“连续性”：目前来看，这一假设无疑需要保留——至少从几何与算术的应用角度出发是如此，因为在这些应用中，相关函数的连续性是“连续性公理”的推论。但另一方面，“定义群的函数具有可微性”这一假设，在几何公理中只能以“牵强且复杂”的方式表述。
因此，问题就产生了：能否通过引入合适的新变量与新参数，将任意群都转化为“定义函数可微”的群？或者至少在一些简单假设的帮助下，将群转化为“可应用李的方法”的群？
根据李提出（但由舒尔（Schur）首次证明）的一个定理[10][11]：当群满足“可迁性”，且假定“定义群的函数存在一阶及某些二阶导数”时，上述“转化为解析群”的过程总是可行的。
我认为，对于“无限群”，研究类似问题也具有重要意义。此外，这还会将我们引入“函数方程”这一广阔且有趣的领域——此前，人们研究函数方程时，通常都会假定涉及的函数具有可微性。
尤其是阿贝尔（Abel）曾巧妙处理过的函数方程[12]、差分方程，以及数学文献中出现的其他方程，它们本身并未直接要求“伴随函数必须可微”。我在变分法中寻找某些存在性证明时，就曾直接遇到这样的问题：如何由“差分方程的存在性”证明“所讨论函数的可微性”。
因此，在所有这些情况下，都会出现一个共同问题：在不假定“函数可微”的前提下，通过适当修正，原本针对“可微函数”得出的结论，能在多大程度上仍然成立？
还需补充的是，闵可夫斯基在其上述着作《数的几何》中，以函数方程
f(x_1 + y_1, x_2 + y_2, \\dots, x_n + y_n) \\leq f(x_1, x_2, \\dots, x_n) + f(y_1, y_2, \\dots, y_n)
为起点，实际上成功证明了“该函数存在某些微商（导数）”。
但另一方面，我想强调一个事实：确实存在“仅以非可微函数为解”的解析函数方程。例如，我们可以构造一个“一致连续但非可微的函数f(x)”，它是以下两个函数方程的唯一解：
f(x + \\alpha) - f(x) = g(x)
f(x + \\beta) - f(x) = h(x)
其中\\alpha与\\beta是两个实数，且对所有实数x，g(x)与h(x)都是“正则解析的一致函数”。
构造这类函数的最简单方法，是借助三角级数，采用与博雷尔（borel）类似的步骤——皮卡（picard）近期指出[13]，博雷尔曾用这种方法构造出“某解析偏微分方程的双周期非解析解”。
[10]李-恩格尔（Lie-Engel），《变换群理论》（theorie der transformationsgruppen），第3卷，莱比锡，1893年，第82、144节。
[11]《论表示有限连续变换群的函数的解析性质》（Ueber den analytischen charakter der eine endliche Kontinuierliche transformationsgruppen darstellenden Funktionen），《数学年刊》（math. Annalen），第41卷。
[12]《全集》（werke），第1卷，第1、61、389页。
[13]《数学分析中的若干基础理论》（quelques théories fondamentales dans lanalyse mathématique），克拉克大学演讲（conférences faites à clark University），收录于《综合科学评论》（Revue générale des Sciences），1900年，第22页。
6. 物理学公理的数学处理
对几何学基础的研究，引发了这样一个问题：像处理几何学那样，借助公理来处理那些数学占据重要地位的物理学科；其中最主要的是概率论和力学。
关于概率论的公理[14]，在我看来，有必要在对其进行逻辑研究的同时，为数学物理（尤其是气体分子运动论）中的平均值方法，提供严格且完善的推导。
物理学家们已经开展了多项关于力学基础的重要研究；我在此提及马赫[15]、赫兹[16]、玻尔兹曼[17]和福尔克曼[18]的着作。
因此，非常有必要让数学家也参与到力学基础的探讨中来。
例如，玻尔兹曼关于力学原理的研究提出了一个问题：将他仅简要提及的、从原子论观点推导到连续体运动定律的极限过程，进行数学上的完整推导。
反过来，人们也可尝试从一套公理出发，通过极限过程推导出刚体运动定律；这套公理基于“充满整个空间的物质其状态连续变化”的思想，而物质的状态由参数来定义。
因为不同公理系统之间的等价性问题，在理论层面始终具有重要意义。
若要以几何学为范本处理物理学公理，我们首先会尝试用少量公理，涵盖尽可能广泛的物理现象类别，随后通过添加新公理，逐步推导出更具特殊性的理论。
与此同时，李（Lie）的无限变换群深刻理论，或许能为分类原则提供依据。
数学家不仅要关注那些贴近现实的理论，还应像在几何学中那样，关注所有逻辑上可能成立的理论。
他们必须时刻保持敏锐，以全面梳理从所设公理系统中可推导出的全部结论。
此外，数学家有责任在每一种情况下，精确验证新公理与先前公理是否相容。
物理学家在其理论发展过程中，常常会因实验结果而被迫提出新假设，但对于这些新假设与旧公理的相容性，他们仅依赖实验或某种物理直觉来判断——这种做法在严格的理论逻辑构建中是不可接受的。
在我看来，验证所有假设相容性的工作也十分重要，因为为获得这种验证，我们必然会被迫对各公理进行精准表述，而这是最有效的推动方式。
到目前为止，我们仅探讨了与数学学科基础相关的问题。
事实上，对一门学科基础的研究始终极具吸引力，而检验这些基础也始终是研究者面临的首要问题之一。
魏尔斯特拉斯曾说：“始终要牢记的最终目标，是达成对学科基础的正确理解[19]。
但显然，要在科学领域取得进展，对特定问题的研究必不可少。”
的确，要成功研究一门学科的基础，就必须深入理解其特殊理论。
只有彻底且详细地了解建筑用途的建筑师，才能为建筑奠定坚实的基础。
因此，我们现在转向数学各分支的特定问题，首先来探讨算术与代数。
[14]参见博尔曼（bohlmann）的《论保险数学》（Ueber Versicherungsmathematik），收录于克莱因（Klein）与基克（Kiecke）编撰的《论应用数学与物理学》（Ueber angewandte mathematik und physik），莱比锡，1900年。
[15]马赫（mach），《力学及其发展》（die mechanik in ihrer Entwickelung），莱比锡，1901年，第4版。
[16]赫兹（hertz），《力学原理》（die prinzipien der mechanik），莱比锡，1894年。
[17]玻尔兹曼（boltzmann），《力学原理讲义》（Vorlesungen uber die principe der mechanik），莱比锡，1897年。
[18]福尔克曼（Volkmann），《理论物理学研究导论》（Einfuhrung in das Studium der theoretischen physik），莱比锡，1900年。
[19]《数学年刊》（math. Annalen），第22卷，1883年。
7. 某些数的无理性与超越性
埃尔米特（hermite）关于指数函数的算术定理，以及林德曼（Lindemann）对该定理的推广，无疑会受到历代数学家的推崇。因此，正如A.胡尔维茨（A. hurwitz）已在两篇有趣的论文[20]《论某些超越函数的算术性质》（Ueber arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen）中所做的那样，沿着这条已开辟的道路继续深入研究，便成为一项亟待开展的任务。故而，我想概述一类问题，在我看来，这类问题应作为接下来的研究重点。在分析学中，某些重要的特殊超越函数，会在自变量取某些代数值时得到代数函数值，这一现象在我们看来尤为显着，值得深入探究。事实上，我们通常认为，即便自变量仅取代数值，超越函数的值一般也应为超越数；尽管众所周知，存在一些整超越函数，即便对所有代数自变量，其函数值均为有理数，但我们仍有充分理由认为，例如指数函数（文中未明确写出具体形式，此处按上下文保留“指数函数”表述），虽显然在自变量取所有有理值时函数值为代数数，但另一方面，当自变量取无理代数值时，其函数值始终为超越数。我们也可将该论断用几何形式表述如下：
在一个等腰三角形中，若底角与顶角的比值为代数数但非有理数，则底边与腰长的比值始终为超越数。
尽管该论断表述简洁，且与埃尔米特和林德曼已解决的问题具有相似性，但我认为，要证明这一定理难度极大；同样难以证明的还有下述命题：
对于代数底数（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“代数底数”表述）和无理代数指数（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“无理代数指数”表述），表达式（文中未明确写出具体形式，此处按上下文保留“表达式”表述），例如数（文中未明确写出具体数，此处按上下文保留“数”表述）或（文中未明确写出具体数，此处按上下文保留“或”后的留白），始终表示一个超越数，或至少是一个无理数。
可以肯定的是，要解决这些及类似问题，我们必须借助全新的方法，并且需要对特殊无理数与超越数的本质形成新的认识。
[20]《数学年刊》（math. Annalen），第32卷，1888年。
8. 素数问题
近来，阿达马（hadamard）、德拉瓦莱-普桑（de la Vallée-poussin）、冯·曼戈尔特（Von mangoldt）等人在素数分布理论研究中取得了重要进展。然而，要完全解决黎曼（Riemann）在其论文《论小于给定数值的素数个数》（Ueber die Anzahl der primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse）中提出的问题，仍需证明黎曼一个极为重要的论断的正确性，即：由级数（文中未明确写出具体级数，此处按上下文保留“级数”表述）定义的函数（文中未明确写出具体函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）的所有零点，除了众所周知的负整数实零点外，其余零点的实部均为（文中未明确写出具体数值，此处按上下文保留“实部均为”后的留白）。一旦成功证明这一论断，接下来的问题便在于更精确地验证黎曼提出的“小于给定数值的素数个数”的无穷级数公式，尤其要确定：小于数值（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“数值”表述）的素数个数与（文中未明确写出具体对数形式，此处按上下文保留“与”后的留白）的积分对数之间的差值，在（文中未明确写出具体变量，此处按上下文保留“在”后的留白）中，其无穷大的阶数是否确实不超过（文中未明确写出具体阶数，此处按上下文保留“不超过”后的留白）[21]。此外，我们还需确定：在统计素数个数时所观察到的素数偶然聚集现象，是否确实与黎曼公式中那些依赖于函数（文中未明确写出具体函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）的首个复零点的项有关。
在对黎曼素数公式进行详尽研究之后，或许我们终将有能力尝试严格证明哥德巴赫问题[22]，即：每个整数是否都可表示为两个正素数之和；进而研究另一个着名问题，即：是否存在无穷多对差值为（文中未明确写出具体差值，此处按上下文保留“差值为”后的留白）的素数对；甚至研究更具一般性的问题，即：对于线性丢番图方程（文中未明确写出具体方程，此处按上下文保留“线性丢番图方程”表述）（其中给定的整系数两两互素），是否总能找到素数解（文中未明确写出具体解的符号，此处按上下文保留“素数解”表述）和（文中未明确写出具体解的符号，此处按上下文保留“和”后的留白）。
但在我看来，下述问题同样有趣，且或许适用范围更广：将有理素数分布的研究成果应用于给定数域（文中未明确写出具体数域符号，此处按上下文保留“数域”表述）中的理想素数分布理论——这一问题的研究方向是考察与该数域相关的、由级数（文中未明确写出具体级数，此处按上下文保留“级数”表述）定义的函数（文中未明确写出具体函数符号，此处按上下文保留“函数”表述），其中求和范围遍历给定数域（文中未明确写出具体数域符号，此处按上下文保留“数域”表述）的所有理想（文中未明确写出具体理想符号，此处按上下文保留“理想”表述），而（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“而”后的留白）表示该理想的范数。
在此，我还可提及数论中的另外三个特殊问题：一个涉及互反律，一个涉及丢番图方程，还有一个来自二次型领域。
[21]参见h.冯·科赫（h. von Koch）即将发表于《数学年刊》的一篇文章[第55卷，第441页]。
[22]参见p.施泰克尔（p. St?ckel）：《论哥德巴赫经验定理》（uber Goldbachs empirisches theorem），《哥廷根皇家科学协会通讯》（Nachrichten d. K. Ges. d. wiss. zu G?ttingen），1896年；以及朗道（Landau）的相关文章，同刊，1900年。
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