由此，我们可推导出如下结论：
1. 若构造二阶常微分方程（1）的任意一个单参数积分曲线族，再建立一个同样以这些积分曲线为解的一阶常微分方程：
（略）
则函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）必然是一阶偏微分方程（1*）的一个解；
2. 反之，若（略）表示一阶偏微分方程（1*）的任意一个解，则一阶常微分方程（2）的所有非奇异积分，同时也是二阶常微分方程（1）的积分。
简而言之，若（略）是二阶微分方程（1）的一个一阶积分，则（略）是偏微分方程（1*）的一个解；反之亦然[第39页]。因此，二阶常微分方程的积分曲线，同时也是一阶偏微分方程（1*）的特征线。
在当前情形下，我们可通过简单计算得到相同结论：计算后，我们所讨论的微分方程（1）与（1*）可表示为如下形式（略），其中下标表示对（略）的偏导数。由此，上述关系的正确性便显而易见。
前文推导且刚刚证明的“二阶常微分方程（1）与一阶偏微分方程（1*）之间的密切联系”，在我看来，对变分法具有根本性意义。因为，由“积分（略）与积分路径无关”这一事实可推出：
（略）
若将等式左侧积分视为沿任意路径（略）的积分，右侧积分视为沿微分方程（略）的积分曲线（略）的积分。
借助方程（3），我们可得到魏尔斯特拉斯公式：
（略）
其中（略）表示魏尔斯特拉斯表达式，该表达式依赖于（略）。
因此，由于求解过程仅需找到一个“在我们所研究的积分曲线（略）的某邻域内单值且连续”的积分（略），上述推导无需引入二阶变分，仅通过对微分方程（1）应用极线法[第40页]，就能直接得到雅可比条件的表达式，并回答“雅可比条件与魏尔斯特拉斯条件（略）相结合，在多大程度上是取得最小值的必要且充分条件”这一问题。
上述推导无需额外计算，即可推广到“存在两个或更多待求函数”的情形，也可推广到“积分是二重积分或多重积分”的情形。例如，考虑在给定区域（略）上的二重积分：
（略）
在通常意义下，其一阶变分（略）等于零，可得到关于两个变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“两个变量”表述）与（略）的待求函数（略）所满足的着名二阶微分方程：
（略）
另一方面，我们考虑积分（原文未明确积分符号，此处按上下文保留“积分”表述，标注为积分J）：
（略）
并探究：应如何将（略）与（略）确定为关于（略）、（略）与（略）的函数，才能使积分J的值与“通过给定闭扭曲线的曲面选择”无关——即与关于变量（略）和（略）的函数（略）的选择无关。
积分J具有如下形式[第41页]：
（略）
而在“问题新表述”所要求的意义下，一阶变分（略）等于零，可得到方程：
（略）
即关于三个变量（略）、（略）与（略）的函数（略）和（略），需满足一阶微分方程：
（略）
若在该微分方程之外，再补充由方程（略）推导得到的偏微分方程（略）：
（略）
则“关于两个变量（略）与（略）的函数（略）所满足的偏微分方程(I)”，与“关于三个变量（略）、（略）与（略）的两个函数（略述）和（留白）所满足的两个一阶偏微分方程构成的方程组（标注为方程组(I*)）”，它们之间的关系，与“单积分情形下微分方程(1)与(1*)之间的关系”完全类似。
由“积分J与积分曲面（原文未明确曲面符号，此处按上下文保留“积分曲面”表述）的选择无关”这一事实可推出：
（原文未写出推导式，此处按上下文保留空白）
若将等式右侧积分视为沿偏微分方程（原文未明确方程符号，此处按上下文保留“偏微分方程”表述）的积分曲面（原文未明确曲面符号，此处按上下文保留“积分曲面”表述）的积分[第42页]；借助该公式，我们可立即得到公式（略）：
（略）
该公式在“二重积分变分”中的作用，与前文给出的公式(4)在“单积分”中的作用相同。借助该公式，我们现在可回答“雅可比条件与魏尔斯特拉斯条件（原文未明确条件符号，此处按上下文保留“魏尔斯特拉斯条件”表述）相结合，在多大程度上是取得最小值的必要且充分条件”这一问题。
上述推导与A.克内泽尔（A. Kneser）[53]从其他视角出发对魏尔斯特拉斯理论的修正表述密切相关。魏尔斯特拉斯在推导极值的充分条件时，采用了“通过固定点的方程(1)的积分曲线”；而克内泽尔则反过来，利用任意一个“由这类积分曲线构成的单参数族”，并为每个这样的曲线族构造了“某偏微分方程的一个特征解”——该偏微分方程可视为雅可比-哈密顿方程的推广。
前文提及的这些问题仅是众多数学问题的范例，但足以表明当今数学科学的内容何其丰富、多样且广博。由此引发我们思考：数学是否会重蹈其他学科的覆辙——分裂成一个个独立分支，各分支研究者彼此难以理解，分支间的联系也愈发松散？我既不相信会出现这种情况，也不希望如此。在我看来，数学科学是一个不可分割的整体，如同一个有机体，其生命力依赖于各部分之间的紧密联系。
尽管数学知识纷繁多样，但我们仍能清晰地察觉到其中逻辑方法的相似性、数学整体思想的关联性，以及不同分支间大量的类比关系。我们还会发现，一门数学理论的发展越深入，其结构就越和谐统一，而此前相互独立的数学分支之间，也会逐渐显现出意想不到的关联。因此，随着数学的不断拓展，其有机整体性不仅不会消失，反而会愈发清晰地展现出来[第43页]。
但有人会问：随着数学知识的不断扩展，单个研究者最终是否必然无法掌握这门学科的所有分支？对此，我想指出一点：数学科学有一个根深蒂固的特点——每一次真正的进步，都会伴随着更敏锐工具的发明与更简洁方法的提出，而这些工具与方法，又能帮助我们理解过往的理论，并摒弃陈旧复杂的推导过程。因此，研究者只要掌握了这些更敏锐的工具与更简洁的方法，就能比在其他任何学科中更轻松地穿梭于数学的各个分支。
数学的有机统一性植根于其学科本质——因为数学是所有自然现象精确知识的基础。愿新世纪能为数学带来富有天赋的大师，以及众多热忱执着的追随者，让数学得以圆满完成这一崇高使命[第44页]。
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